一、牌山的基本盤：136 張牌告訴你什麼
先固定討論範圍：本文以 34 種牌（萬、筒、索各 9 種，加 7 種字牌）每種 4 張、共 136 張，不含花牌，起手 13 張為準。這是日式麻雀與多數去花規則共通的基礎；含花牌的規則，牌山多出的花牌不影響下面的組合計算，只影響牌山長度。
從 136 張中隨機取 13 張，有幾個直接可算的事實：
- 指定的某一種牌（例如一萬）出現在起手中至少一張的機率約 33.4%。算法是 1 − C(132,13) ÷ C(136,13)，也就是「13 張全部避開這 4 張」的補集。
- 起手平均包含約 11.4 種不同的牌，也就是 13 張牌裡平均有約 1.6 張是「重複的牌」。
- 起手平均約有 1.55 種牌湊成對子以上（每一種牌至少 2 張的機率為 4.56%，乘以 34 種）。其中恰好是對子的機率為 4.29%，刻子（3 張）為 0.26%，四張全在手上的機率只有約 0.005%。
這些數字說明一件事：起手的「天然對子」其實不多。想靠起手對子直接成型的牌型，本來就是少數；多數牌局的對子、搭子，是靠後續摸牌與選擇製造出來的。這也是為什麼後面「進張數」比「手上現成的牌」更值得計算。
二、進張數：把聽牌效率變成可比較的數字
進張數（也叫有效牌數）指的是：還有幾張牌摸到之後，可以讓你的手牌更接近和牌。進張數的上限由牌型決定，因為每種牌只有 4 張：
| 聽牌形 | 例子 | 進張數上限 | 為什麼 |
|---|---|---|---|
| 兩面 | 手持 4、5 萬，等 3 或 6 萬 | 8 張 | 3 萬 4 張 + 6 萬 4 張 |
| 嵌張 | 手持 4、6 萬，等 5 萬 | 4 張 | 只有一種牌可進 |
| 邊張 | 手持 1、2 萬，只等 3 萬 | 4 張 | 只有一種牌可進 |
| 雙碰 | 手持兩組對子，等其中一對的第三張 | 4 張 | 兩種牌各剩 2 張 |
| 單騎 | 單吊一張牌，等另一張相同的 | 3 張 | 手上已有 1 張，剩 3 張 |
上限是「完全沒有看見任何相關牌」的情況。自己手上握有、場上已打出或被碰走的同種牌，都要從上限中扣除。
這張表直接解釋了「兩面比嵌張好」：上限差一倍。但它同時埋了一個陷阱——上限不等於實際。一個看似兩面的聽牌，若 3 萬已被打出兩張、6 萬被別家碰走，實際進張可能只剩 3 張，比一個完全沒被看見的嵌張還差。進張數必須每一巡重新數。
三、從進張數到和牌機率：超幾何分佈
知道有幾張牌可進，下一個問題是「在還剩 k 次摸牌的情況下，摸到至少一張的機率」。這是標準的超幾何問題：從 U 張「你看不見的牌」中，不放回地抽 k 張，其中有 n 張是你的進張。
所謂「你看不見的牌」，包含牌山，也包含另外三家藏在手裡的牌。因為你對他們手牌沒有任何資訊，從你的角度看，這些牌與牌山裡的牌在統計上是對稱的，所以可以合併成同一個池子。起手時 U = 136 − 13 = 123。公式為：
P(至少摸到一張) = 1 − [ (U−n)(U−n−1)…(U−n−k+1) ] ÷ [ U(U−1)…(U−k+1) ]
以 U = 123 代入，得到下表（單位：%）：
| 進張數 n | 摸 1 次 | 摸 5 次 | 摸 9 次 | 摸 12 次 | 摸 18 次 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 張 | 1.6 | 8.0 | 14.2 | 18.6 | 27.2 |
| 4 張 | 3.3 | 15.5 | 26.5 | 34.0 | 47.3 |
| 8 張 | 6.5 | 29.0 | 46.6 | 57.1 | 72.9 |
日式規則的活牌山約 70 張，每家一局約摸 17 至 18 次；其他規則略有差異。此表只計自己摸牌，不含別家打出的牌，因此是和牌機率的保守估計。
從這張表可以讀出三個有用的結論：
- 進張數翻倍，機率並不翻倍。摸 9 次時，8 張進張是 46.6%，4 張是 26.5%，比值約 1.76 倍而非 2 倍。進張越多，邊際效益越遞減。
- 時間是資源。同樣是 4 張進張，摸 5 次只有 15.5%，摸 18 次則接近 47.3%。晚巡才聽牌的手，必須用更多進張或更高打點補回來。
- 資訊會改變分母。假設你已看見 33 張與你無關的牌，U 從 123 降到 90，8 張進張摸 5 次的機率由 29.0% 升到 37.9%。前提是看到的牌都不是你的進張；若看見的恰好是你要的牌，分子也跟著縮小，機率會下降。
四、期望值：把輸贏換算成同一把尺
知道了和牌機率，還缺一個把「攻」與「守」放在同一把尺上的工具，那就是期望值：
期望值 = Σ（事件發生的機率 × 該事件的得失點數）
下面是一個示意用的假設例子（數字為舉例，並非統計實測）：你的手牌已聽牌，和牌價值 3,900 點。你估計這一局最終能和牌的機率為 30%；但若硬打下去，放銃給別家的機率為 15%，放銃的平均損失為 5,800 點。
推進的期望值 = 0.30 × 3,900 − 0.15 × 5,800 = 1,170 − 870 = +300 點
結果略為正，推進是可以接受的選擇。但注意它對放銃機率非常敏感：只要放銃機率從 15% 升到 25%，期望值就變成 1,170 − 1,450 = −280 點，應該改為棄牌。這個例子的損益兩平點是放銃機率 ≈ 1,170 ÷ 5,800 ≈ 20.2%。
這就是期望值思維的價值：它不告訴你「該不該拚」，而是告訴你拚到什麼條件就不該拚。在牌桌上，你不需要精確算出 20.2%，但需要知道自己的判斷落在損益兩平點的哪一側。
五、三個最常見的機率誤解
1. 賭徒謬誤：「這張牌很久沒出現，應該快來了」
摸牌是從剩餘的牌中抽取，每一張未見的牌被抽到的機會相同。「很久沒出現」本身不構成資訊；真正構成資訊的是「已經被看見的牌」——因為被看見的牌會縮小分母或分子。兩者要分開：時間長短不改變機率，看見哪些牌才會改變機率。
2. 進張數最多的一定最好
進張數只衡量速度。一個 8 張進張的平和型聽牌，與一個 4 張進張但打點高一倍的嵌張聽牌相比，用上一節的期望值公式計算，後者不一定輸。比較方式永遠是 機率 × 價值，而不是單看其一。
3. 把「牌山裡還有」與「別家手上沒有」畫上等號
你的進張可能被別家握在手中。若某家明顯在做你需要的花色，這個花色在牌山中的實際比例會低於「看不見的牌」池子所顯示的比例。第三節的計算是在「完全無資訊」下的基準，一旦你有理由相信某種牌被別家集中持有，就應該把進張數往下調整。
六、把計算變成習慣：出牌前的三個數字
牌桌上不可能每次都做精確的超幾何計算，但可以訓練一個簡化的流程。每次出牌前，只問自己三個問題：
- 這個選擇的進張數是多少？（扣掉自己手上與場上已見的牌）
- 還剩大約幾巡？用上面的表快速判斷機率落在哪一個區間。
- 放銃風險大約是我和牌價值的多少倍？只要放銃的預期損失遠大於和牌的預期收益，就該認真考慮棄牌。
賽後複盤時，挑出一兩個你覺得「憑感覺」的決定，用這三個數字重算一次。一開始會很慢，但數十局之後，你對機率區間的直覺就會被校準，而這正是計算最終想換到的東西。